Come risolvo x! = 40320 matematicamente?
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x! = 40320
x! si chiama fattoriale di x ed è un modo compatto di scrivere il prodotto di tutti i numeri da 1 a x compreso.
Detto questo, 40320 termina con le cifre 20, quindi è divisibile per 4. Inoltre, poiché c'è un solo 0 alla fine, esso è divisibile per 5 ma non per 25. Di consenguenza, x è al massimo 9.
A questo punto abbiamo ridotto notevolmente il campo di ricerca, che è diventato l'insieme dei numeri naturali compresi tra 1 e 9. 40320 è un numero relativamente alto, quindi cominciamo a provare da 9! a scendere fino a 1! , e ci rendiamo conto che il numero cercato è 8.
*** oppure in modo più articolato
Ovvero, ponendo k = 1 e n come numero naturale abbiamo che n!, per k che va da 1 a n, è uguale a:
k • (k+1) • (k+2) ... fino a che k non sarà uguale a n. Sostituendo nella formula, ad esempio, n con 6, avremmo:
6! = 1•2•3•4•5•6 = 720
Questo chiamiamolo “metodo verticale” per arrivare alla soluzione, ma nell’esempio fatto conosciamo già il valore di x che è 6.
Nel tuo caso, la x è incognita e per scomporre il numero 40320 fino ad arrivare a x! si usano i criteri di divisibilità o la formula inversa. Sempre in questo caso, sappiamo che:
x < 10 poiché in tal caso vorrebbe dire che 40320 sarebbe divisibile per 2,5,10 e tutti i multipli di 10; questa affermazione sarebbe falsa (esempio con criterio di divisibilità).
Proviamo con 9?
x < 9 poiché 40320/9 = 4480 /8 = 560 / 7 = 80 / 6 = 13,3 (esempio con operazione inversa fino a che n = 1)
Proviamo con 8?
x = 8 poiché 40320/8 = 5040 /7 = 720 /6 = 120 /5 = 24 /4 = 6 /3 = 2 /2 = 1 /1 = 1
In questo caso ci fermiamo qui, perché abbiamo visto che:
1 • 2 • 3 • 4 • 5 • 6 • 7 • 8 = 40320 e dunque x = 8
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