Manuale di Resistenza. .In matematica ci sono numeri che non esistono?

Manuale di Resistenza contra et versus ogni tipo di dominio .In matematica ci sono numeri che non esistono?



In un certo senso, si. Alcuni numeri non sono calcolabili.


Va detto innanzitutto che con numero calcolabile si intende un numero le cui cifre possono essere prodotte con precisione arbitraria (ma decisa a priori). Ad esempio per pi-greco io posso scrivere un programma che produca le prime N cifre, con N grande a piacere.


Ovvio che se N è troppo grande per il computer che ho a disposizione, potrei non essere in grado di produrle. Oppure potrebbe servire troppo tempo.


Ma in linea di principio, usando una macchina di Turing * (astrazione con memoria e velocità di calcolo arbitrariamente grandi), posso produrre tante cifre di pi-greco quante ne voglio.


Dunque, pur essendo un numero con una rappresentazione infinita e non periodica, pi-greco è un numero calcolabile.


E tuttavia, prendendo appunto l'esempio della macchina di Turing, possiamo dimostrare che ve ne sono altri che non sono calcolabili.


Partiamo infatti con l'osservare che il programma che scrivo da far girare sulla mia macchina di Turing è una sequenza di bit. E ogni programma, essendo la macchina deterministica, produrrà sempre lo stesso numero.


Dunque non vi possono essere più numeri che programmi distinti.


Ma l'insieme di tutte le possibili sequenze di bit, pur avendo cardinalità infinita, è numerabile. Dunque ha la stessa cardinalità dei numeri naturali.


Bene, il problema è che i numeri reali hanno una cardinalità più elevata. Non si può cioè far corrispondere un numero naturale ad ogni numero reale (pur essendo infiniti tutti e due).


Quello che segue quindi è che vi sono alcuni numeri reali (ovviamente con rappresentazione infinita e non periodica altrimenti sono razionali) che non potranno essere prodotti da alcun programma scritto per la mia macchina di Turing.


Ergo sono incalcolabili, quindi in un certo senso non esistono!


Ovviamente che abbia rappresentazione infinita, non periodica è una condizione necessaria ma non sufficiente per la loro incalcolabilià. 



Pi-greco e radice 2 ad esempio sono infiniti ma sono calcolabili.


https://it.quora.com/In-matematica-ci-sono-numeri-che-non-esistono/answer/Giuliano-Bertoletti


*https://www.treccani.it/enciclopedia/macchina-di-turing_%28Enciclopedia-della-Scienza-e-della-Tecnica%29/

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